SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-LINEAR DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Nama: M.Reviyata S.P.P

Kelas: X IPS 2

Absen: 19

Sistem Persamaan Linear Kuadrat (SPLK)

---

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK) disusun oleh sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan kuadrat yang memiliki dua variabel. SPLK terdiri dari 2 jenis, yaitu SPLK Eksplisit dan SPLK Impilsit.

Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk eksplisit apabila persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk $y=f\left(x\right)$ atau $x=f\left(y\right)$.
Contoh:

• $x=2y-1\to x=f\left(y\right)=2y+1$
• $y=3x+1\to y=f\left(x\right)=3x+1$
• $y=x^2+5x+6\to y=f\left(x\right)=x^2+5x+6$
• $x=y^2+2y+1\to x=f\left(y\right)=y^2+2y+1$

Suatu persamaan dua variabel $x$ dan $y$ dikatakan berbentuk implisit apabila persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $y=f\left(x\right)$ atau $x=f\left(y\right)$. Persamaan implisit dinyatakan dalam bentuk $f(x,y)$
Contoh:

• $x^2+y^2-25=0$
• $x^2+y^2-6x+8y+10=0$
• $x^2+2xy+y^{2}8y+10=0$

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Kuadrat Implisit, yaitu:
$\begin{array}{cc}y& =mx+n\cdots \text{bagian linear}\\ y& =a{x}^2+bx+c\cdots \text{bagian kuadrat}\end{array}$
dimana $m,n,a,b,c$ adalah bilangan real dan $a\ne 0$. Untuk bagian linear gambarnya berupa garis dan bagian kuadrat gambarnya berupa parabola.

Untuk menyelesaikan SPLK implisit dapat dilakukan dengan mensubstitusi kedua persamaan di atas menjadi:
$\begin{array}{cc}y& =y\\ a{x}^2+bx+c& =mx+n\\ a{x}^2+(b-m)x+c-n& =0\end{array}$

Persamaan kuadrat $a{x}^2+(b-m)x+c-n=0$ umumnya disebut dengan persamaan kuadrat persekutuan. Dari persamaan kuadrat persekutuan dapat kita tentukan nilai $x_1$ dan $x_2$ lalu disubstitsi ke salah satu persamaan sehingga kita akan dapatkan nilai $y_1$ dan $y_2$.
Himpunan penyelesaian sistem persamaan adalah $\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right\}$.

Seperti jenis akar-akar persamaan kuadrat, dari $a{x}^2+(b-m)x+c-n=0$ ada beberapa hal yang dapat kita tuliskan yaitu:

• Jika $D>0$ maka garis dan parabola berpotongan di dua titik atau mempunyai dua himpunan penyelesaian
• Jika $D=0$ maka garis dan parabola bersinggungan atau mempunyai satu himpunan penyelesaian
• Jika $D<0$ maka garis dan parabola tidak berpotongan dan tidak bersinggungan atau tidak mempunyai himpunan penyelesaian

Contoh Soal Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat (SPLK)

1. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

2. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2  ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.